Zcela náhodou jsem narazil na zadání maturitních témat z roku 1885 (zde) . Věru zajímavé čtení, které nutí k zamyšlení, kam až naše střední školství za těch sto třicet šest let pokročilo.
Bylo mi nahlédnouti na themata písemných zkoušek maturitních pro abiturienty gymnasijní
i pro abiturienty realné
Abiturienti gymnasijní byli zřejmě připravováni pro následující studium některého z humanitních směrů, neboť kromě češtiny museli maturovat i z němčiny, latiny, řečtiny a – dnešní humanisté zbystřete – z mathematiky. Z abiturientů realných se zřejmě rekrutovali přírodovědci a technici – kromě mathematiky povinně maturovali z deskriptivy, češtiny a frančiny.
Co mě na tom jako matematika zaujalo, netřeba dlouze popisovat. Pojďme se na to podívat. Nejdříve něco pro abiturienty gymnasijní:
Tak co na to říkáte, filozofové a politologové jedenadvacátého století? Zkusíte to zvládnout?
Těm odvážným, kteří si troufají, doporučuji zadanou rovnici nejdříve vydělit deseti tisíci:
a pak dekadicky zlogaritmovat
Substitucí
dostaneme kvadratickou rovnici
a ze substituce zpětně je
Druhý příklad vyžaduje obrázek.
Nejdříve zřejmě vyžádáme pomoc pana Pythagora na výpočet odvěsny AC trojúhelníka ABC:
Otázka pro budoucí historiky: Měli adepti filozofie v 19. století kalkulačky? A pokud ne, jak to asi počítali? Dále je třeba vědět, že poměr délek kružnic je stejný jako poměr jejich poloměrů, tedy
Teď už jen maličkost – dosadit do vzorce
Otázka pro pana Prof. Hejného a ostatní současné odpírače pamětného učení: Mohli mít třeba latiníci v 19. století u maturity z matematiky taháky s matematickými vzorci? A pokud ne, kolik těch vzorců si asi museli pamatovat?
A jak je vidět, i o kuželosečkách toho u maturity museli budoucí filozofové vědět víc, než většina současných techniků na vysokých školách. Představme si parabolu a dvojice jejich tečen, které svírají pravý úhel:
A nyní nám, budoucí vykladači antických sylogismů, objasni, jakouže to křivku vrcholy těch pravých úhlů vyplní…
K odpovědi na tuto otázku je třeba především vědět (a tenkrát nejspíš i umět dokázat), že paty všech kolmic spuštěných z ohniska paraboly na tečny leží na vrcholové tečně:
Máme tedy nyní tečny dvě a i tyto tečny svírají pravý úhel:
Otázkou nyní jest, milý Sokrate, jakou velikost má úhel 
? Inu – i ten je pravý. Takže bez ohledu na to, jak se mi povedl (v tomto případě spíš nepovedl) předchozí náčrtek, čtyřúhelník 
je – obdélník…
Pojďme si to tedy nyní nakreslit trochu lépe:
Nyní je zřejmé, že vzdálenost PQ bodu P od vrcholové tečny v je vždy stejná, jako vzdálenost FV ohniska F od vrcholu V paraboly resp. od její vrcholové tečny. A že hledaným geometrickým místem bodů P je – řídicí přímka d naší paraboly.
Tolik tedy k úlohám pro ty, kterým má matematika jen dokreslit všeobecný středoškolský přehled. A s čím se museli prát abiturienti “realní”, pro které má být matematika součástí jejich budoucí odbornosti?
Příklad první, rovnice, kterou jest řešiti, začíná celkem jednoduše – jedno řešení jest okamžitě k vidění – totiž nula. Ale co řešení další (je-li jaké)? Abychom je objevili, pořídíme nejdříve oběma stranám rovnice stejný základ:
a můžeme porovnat exponenty:
Nyní je třeba vidět, že jindy obvyklé a pohodlné roznásobení závorek nás povede možná k rovnici čtvrtého stupně, odkud je už jen krok do horoucích pekel. Je třeba zapojit trochu matematické tvořivosti a fantazie:
O nule jako kořenu již víme, první (a poslední) závorka v rovnici nule být rovna nemůže. Lze tedy odvážně vydělit, a pak už se snadno dopídit druhého kořene:
Druhý příklad svědčí mimo jiné o tom, jak si před více než stoletím, vyzbrojeni snad jen logaritmickým pravítkem, potrpěli na přesnost. Úhly zadané s přesností na vteřinu nutí počítat s přesností na šest desetinných míst.
Ovšem před tím, než začneme počítat, je třeba si řádně rozmyslet, co vlastně máme počítat. Takže nejdřív asi opět obrázek:
Rotací zadaného trojúhelníka kolem jeho strany c vznikne “mezikuželí” – do kužele o (neznámé) výšce v_1 je vyvrtán kužel se stejnou podstavou a (neznámou) výškou v_2=v_1-5. Poloměr společné podstavy je roven (neznámé) výšce v_c daného trojúhelníka. Touto výškou bychom asi měli začít:
K výpočtu objemu to (kupodivu) bude stačit, neboť
Před vyčíslením objemu bychom nicméně měli tento objem vyjádřit pouze pomocí zadaných hodnot (doufám, že tato zásada je studentům zdůrazňována i dnes). Tedy
S povrchem tohoto “mezikuželí” bude trochu víc práce – potřebujeme totiž spočítat strany a;b zadaného trojúhelníka, které tvoří strany našich dvou kuželů. Takže:
Zatímco objem našeho tělesa byl roven rozdílu objemů, jeho povrch bude součtem povrchů plášťů:
I zde jsme se drželi požadavku, aby ve výsledném výrazu byly jen zadané hodnoty. Nicméně v tomto případě je zajímavý vztah mezi objemem a povrchem tělesa. Dosadíme-li do posledního vzorečku dříve vypočtený objem, dostaneme totiž
V příkladě třetím jest nejdříve dopočítati pořadnici y bodu M, ve kterém přímce T hyperboly H jest se dotýkati:
Dále jest nám sestaviti rovnici tečny bodem M procházející
a asymptot, kteréžto tečna seče
Nyní jest nám nalézti body, ve kterých tyto asymptoty předchozí tečnu sečou
Výpočet třeba završiti trojúhelníka OBC ploského obsahu nalezením
(neznalý determinantů počítati bych to věru nechtěl…)
Co je tam pro budoucí přírodovědce z deskriptivy? S pocitem úlevy se mohu vymluvit, že už tak příšerně dlouhý článek by musel být ještě asi třikrát delší, a taktně o tom pomlčím…
Tak jak je vám, milí letošní maturanti, po těle? Kolik z vás by asi c. k. zemský inspektor školní Jan Kosina mohl uznati dospělými?
Myslím, že všichni letošní věřící maturanti mohou děkovat Bohu a ti nevěřící přírodě, že jim jest maturovati až dnes, a nikoli v devatenáctém století…