Komplexní omyly živočišného druhu homo mathematicus

i = √(-1). Kolik to muselo dát práce! A přitom je to úplná blbost. Věděl to už Rafael Bombelli v 16. století, ale většina současných “matematiků” to neví dodnes.

Před časem jsem narazil na stránky jedné nejmenované vzdělávací agentury, která nabízela lekce středoškolské matematiky. Placené, samozřejmě. Nicméně aby nalákala odběratele, bylo tam několik kousků k nahlédnutí zdarma. I pustil jsem si. Stačila půlminuta…

https://drive.google.com/file/d/1MnzI_ZtvVbG8EbEatfm5roCVzvgMzS8r/view?usp=sharing

… a dál jsem se už nedíval. Tento “matematik” se přidal k mnohým dalším šiřitelům nesmyslu, kterým už je školská matematika doslova zamořena.

Neodolal jsem a poslal jsem mu mail. Že mi matematika moc nejde, takže bych se rád přihlásil k odběru, protože to video je velmi zajímavé. Nicméně jsem tam narazil na něco, čemu nerozumím. Totiž tomu, že ta základní premisa, na které jsou “ty komplexní čísla postavené”, jsou ve skutečnosti premisy dvě, a že nemohou platit současně, takže jedna z nich musí být špatně.

Dostal jsem dost dlouhou odpověď s blahosklonným vysvětlením, že ta malá dvojka v zápise i² znamená opakované násobení, takže i² = i * i a to že se rovná – 1. Ta odmocnina, to je prý “inverzní operace”, což znamená, že naopak hledá číslo, které vynásobeno samo sebou dá číslo, které je pod odmocninou. A protože je i * i = -1, musí být √(-1) =i.

Poděkoval jsem za podrobnou odpověď a napsal jsem: Dobrá. Takže mám vaši první premisu: i = √(-1), a potom druhou premisu: i² = – 1. A podle těchto premis jsem spočítal:

První rovnost je vaše premisa číslo dvě, rovnost druhá, to je vaše skvěle vysvětlené násobení. Třetí rovnost je vaše první premisa, rovnost čtvrtá plyne z jakéhosi vzorečku, který mám v sešitě, pátá a šestá je učivem základní školy. Takže mi vyšlo – 1 = 1, což je evidentně špatně. Můžete mi prosím napsat, kde je chyba?

Na odpověď jsem čekal velmi, ale opravdu velmi dlouho. Pak přišla a byla tentokrát velmi stručná. Stálo v ní: “Máte pravdu. S pozdravem XY”. V čem mám pravdu, to tam nebylo, a kde je chyba, to jsem se nedověděl už vůbec.

Tento “expert” se tedy o vysvětlení ani nepokusil. “Vysvětlují” však jiní. Například česká wikipedie. Jakýsi “odborník” tam napsal toto:

Asi přehlédl, že i není číslo reálné, tudíž první řádek je o voze a zbytek textu o koze. Je ovšem také možné, že v těch rovnostech klidně matlá dohromady odmocniny reálné a komplexní, čímž si plete (jak říkával můj otec) “koše s baňama”.

Podle wikipedie je tedy v našem “paradoxu” špatně rovnost, kterou jsme označili čtverkou. Stejně to vidí různá pitoreskní “matematická” videa, která jsem tepal už ve svém minulém článku. Ta dokonce rovnosti typu √(-16). √(-4) = √((-16). (-4)) považují za “biggest students mistake”, viz např.

Tito matematičtí alchymisté netuší, že svým “výkladem” ten “biggest students mistake” umocnili na druhou. Chudák Harvard University!

Studenti prý tvrdí, že √(-16). √(-4) =8. Video tvrdí, že √(-16). √(-4) = – 8.

Který výsledek je správně? Světe, div se, žádný. Oba jsou špatně. Špatně je totiž už samo zadání. Správná odpověď je:

Úlohy ve videích jsou nekorektní a nemá smysl je řešit.

Tvrzení (√a. √b= √(a.b)) <=> (a;b >=0) je totiž věta o reálných číslech, která v oboru čísel komplexních neplatí a platit ani nemůže. Těleso komplexních čísel totiž nelze uspořádat, takže relace “větší”, “menší” zde vůbec nemají smysl. Žádné komplexní číslo není ani větší, ani menší než jiné. Komplexní číslo -1, tj. číslo -1+0i není ani kladné, ani záporné. Žádná kladná komplexní čísla, ani žádná záporná komplexní čísla totiž neexistují. Zápisy a>0; -1<0; 1>0 nemají v oboru komplexních čísel vůbec žádný smysl.

Mají-li tedy být úlohy ve videích korektní, musí být v zadání jasně řečeno, zda má jít o rovnost čísel reálných, anebo komplexních. Hledáme-li číslo reálné, pak úloha nemá řešení, protože reálné odmocniny ze záporných čísel nejsou definovány. Hledáme-li čísla komplexní, pak vězte, že

V obou videích i v našem “paradoxu” rovnost √a. √b= √(a.b) platí *) . Chyba je jinde.

Vezměme to postupně: První rovnost (tj. první “premisa” našeho úvodního alchymisty) je tedy v pořádku, druhá rovněž. Špatně je rovnost třetí (tj. druhá premisa…) . Na levé straně třetí rovnosti je totiž jedno komplexní číslo ( i² = -1), na straně pravé jsou ovšem čísla dvě, totiž +1 a -1 (viz poslední červený řádek výše). Takže třetí rovnost tam nemá co dělat. Pamatujme:

Další dvě rovnosti “paradoxu” jsou OK, poslední (šestá) rovnost je opět špatně, neboť nelevo je komplexní odmocnina z jedničky, která má opět dvě hodnoty a napravo je jen jedna z nich.

Komplexní druhá odmocnina z každého nenulového komplexního čísla má dvě různé hodnoty. Formálně ji tedy můžeme chápat jako dvouprvkovou množinu. To nám umožní velmi elegantní opravu dvou chyb v našem “paradoxu”. Chybná rovnítka jednoduše nahradíme množinovými “patřítky” a všechno je OK:

Závěrem ještě jedna věc: V komplexním oboru je odmocnina definována jako inverzní relace k umocňování, tj. pro každé komplexní číslo je

takže v oboru komplexních čísel je např. √4 = ±2 . Je otázkou, proč to v oboru čísel reálných není stejně. Mělo by to dvě zásadní vady. Za prvé: na rozdíl od čísel komplexních nelze odmocňovat všechna reálná čísla, ale pouze čísla nezáporná. Za druhé: pokud by i v reálných číslech byla odmocnina skutečně definována výše uvedenou ekvivalencí, museli bychom i v reálných číslech připustit, že každá odmocnina z kladného čísla má dvě hodnoty – kladnou a zápornou. To by ovšem znamenalo, že by odmocnina nebyla operací, protože by neměla „ jednoznačný výsledek“ (nebyla by zobrazením). Při definici odmocniny z reálného čísla je tedy nanejvýš žádoucí, abychom jednu z nabízejících se hodnot odmítli. A je celkem pochopitelné, že odmítneme hodnotu zápornou. Analytik pak totiž může říct, že díky tomu máme reálnou funkci, jejímž definičním oborem i oborem hodnot jsou nezáporná reálná čísla (R⁺U {0}), pro algebraika je pak druhá odmocnina na množině R⁺U {0} unární operací.

V oboru čísel komplexních ovšem takto postupovat nelze. Jednoduše proto, že v něm (jak již bylo řečeno) žádná záporná ani nezáporná čísla nemáme. Proto zde nemáme žádné rozumné kriterium, které by nám umožňovalo jednu z těch dvou hodnot pro účely odmocniny diskvalifikovat.

————————————-

*) V “paradoxu” se vyskytuje číslo i, je tedy jasné, že všechna čísla i odmocniny jsou komplexní, takže to v jeho zadání výslovně uvedeno být nemusí.