Může neexistující vědomí stvořit existující filozofii? Ano, může, říká Jára Cimrman ústy cimrmanologů ve hře Akt a všichni se tomu smějeme. Může neexistující číslo patřit do existujícího intervalu? Ano, může, říká “matematik” Botlík, následován všemi “odborníky” Cermatu. A to k smíchu rozhodně není.
Na slavnou Cimrmanovu basilejskou odpověď jsem si na blogu už jednou vzpomněl (zde). Dnes se mně hodí znovu.
Ze zadání letošních maturitních úloh.
Maturant má tedy v podstatě jen vyřešit šest kvadratických rovnic. Něco takového se ale autorům maturitního testu asi zdálo moc jednoduché, a tak to prvními dvěma řádky zahalili do mlhy husté tak, že by se dala krájet, a pak se v té mlze sami ztratili. A to hned dvakrát.
V mlze se má bloudit velmi opatrně, takže velmi podrobně a nejlépe slepeckou holí nejdříve osaháme okolní terén.
Co v tomto zadání znamená slovo “řešení”? U jiné úlohy má student do záznamového archu uvést celý “postup řešení”. Je tedy řešení totéž, co nějaký “postup”? Anebo snad jen poslední krok tohoto postupu? V kontextu zadání úlohy 25 ani jedno, ani druhé. Ani postup, ani žádný jeho krok totiž do žádného intervalu asi patřit nebude.
Takže co? “Řešením rovnice” tak, jak ho chápe zadání, může být za třetí každé číslo, které dosazeno do této rovnice ji změní v pravdivou rovnost. V tom případě by neměl autor matematického textu používat slovo řešení, ale kořen. Bylo by jasno. Ale taková nuance je zřejmě pod rozlišovací schopností odborníků z Cermatu.
Konečně za čtvrté – řešením rovnice je podle mnohých středoškolských učebnic množina všech jejich kořenů.
Takže, milý maturante, vyber si. Odpověď na otázku úlohy 25 totiž zcela závisí na tom, který ze čtyř významů slova “řešení” si zvolíš.
Nezpochybnitelné autority z Cermatu si vybraly možnost pátou. Tito experti totiž moc nepřemýšleli, v textu Vyřešené zadání pro didaktický test z matematiky – jaro 2025 za “řešení úlohy 25 A” (opět zde) prohlásili původně výrok “úloha nemá řešení” a rovnici A “nepřiřadili” k žádnému ze dvou intervalů. Na to konto všechny studenty, kteří přemýšleli jinak, obrali o body a naivně se domnívali, že jsou ze své vlastní mlhy venku.
Když tu náhle – Botlík ex machina! Tento alchymista zpatlal dohromady dva výše uvedené významy stále nevysvětleného pojmu “řešení” a relaci inkluze 
začal s relací náležení 
ve svém hrnci usilovně míchat. Nedivil bych se, kdyby si ještě nechal poslat pro babí hněv, laskavec a čimeřici. Dokonce je možné, že na tom ještě pražil lomikámen. Pak vypustil do světa tuto perlu:
“Problém je v tom, že první rovnice nemá žádné reálné řešení. Prázdná množina je ale podmnožinou jakékoliv množiny čili tahle rovnice byla také řešením obou podúloh.“ (zdroj)
Kdybych takto “vyřešil” tuto úlohu před padesáti lety v prvním ročníku gymnázia já, byl bych pro výstrahu zastřelen před nastoupenou sborovnou. Stala se však neuvěřitelná věc: Cermat uznal, že se spletl, body za vyřešení úlohy přidal i těm, kteří úlohu vůbec neřešili, a do odstavce “Řešení úlohy 25” připsal úžasné zdůvodnění:
Do obou možností 25.1 a 25.2 je možné doplnit také možnost A. Prázdná množina je totiž podmnožinou každé množiny.
Do kouře dýmovnice, kterou nastražil na studenty, se zadavatel zamotal podruhé a to tak, že zřejmě definitivně.
Zkusme tedy v té mlze najít nějakou cestu. Předpokládejme, že pojmem “řešení rovnice” se rozumí množina všech jejich kořenů. Není sice jasné, proč v tomto případě zadání mluví o “všech řešeních”, když takovéto řešení má každá rovnice vždycky právě jedno, ale budiž – tato vada je jen kosmetická. Pak je sice pravda, že řešením rovnice A) je prázdná množina a že prázdná množina je podmnožinou každého intervalu, tedy
ale na to se úloha přece neptá !!!
Úloha se neptá, zda je řešení podmnožinou.
Úloha se ptá, zda řešení do intervalu patří,
tedy zda platí
Ani jedno z toho samozřejmě neplatí. A nebude to platit dokonce ani tehdy, když místo prázdné množiny napíšeme jakoukoliv množinu jinou. Takže v případě, že řešením rovnice je množina kořenů, nelze podle zadání ani jednomu intervalu přiřadit žádnou rovnici. Úlohu v tomto případě tedy správně řešil jenom ten, kdo ji vůbec neřešil a nechal ji nevyplněnou. Takto to ale cermaťáci asi nemysleli.
Co když se tedy “řešením rovnice” myslí jeden její kořen?
Může neexistující kořen patřit do existujícího intervalu?
Jestliže ano, musím být schopen nějak ukázat, kde v tom intervalu je, anebo (což je matematicky totéž) ho z toho intervalu “vybrat” tak, jak vybírám například míček z osudí.
Stojíme tedy před cimrmanovským problémem vybrat z osudí míček, který vůbec neexistuje. Já to sice neumím, ale Jára Cimrman by to určitě dokázal. Takže i černokněžníkům z Cermatu a alchymistovi Botlíkovi se to možná jednou podaří. Pak uznám, že zvítězili. Do té doby by ale Cermat měl odvolat, co odvolal a slíbit, co prve slíbil.
===============
PS: Vážnější poznámka pro ty, kteří chtějí z logiky znát trochu víc než jen konjunkci a disjunkci: Zařazení rovnice A) do úlohy 25 je logicky nekorektní, neboť do rozsahu pojmu „všechna řešení“ zahrnuje i případ, kdy řešení neexistuje, čímž porušuje logický zákon partikularizace, tj.
Mírně rozšířenou verzi tohoto řlánku je možné najít na medium. cz